ROC analýza a využití analýzy nákladů a přínosů k určení optimálního dělícího bodu

Souhrn

Ve své práci jsme předložili přehled o ROC (receiver operating characteristic) analýze a jejím použití v medicíně. Článek uvádí krátký přehled teorie i způsob, jak lze ROC křivku vytvořit, a dále zdůrazňuje význam analýzy nákladů a přínosů (Cost-Benefit Analysis) při volbě optimálního dělícího bodu (prahu). Použití ROC analýzy jsme ukázali na několika příkladech v části „Analýza nákladů a přínosů“. Na těchto příkladech vidíme, že pro určení optimálního dělícího bodu má rozhodující význam prevalence onemocnění, závažnost onemocnění, rizika a nežádoucí účinky léčby nebo diagnostického testu, celkové náklady na léčbu pravdivě i falešně pozitivních pacientů i riziko nedostatečné nebo žádné léčby u falešně negativních.

Klíčová slova:
ROC analýza, ROC křivka, senzitivita, specificita, pozitivní prediktivní hodnota, negativní prediktivní hodnota, prevalence, analýza nákladů a přínosů, plocha pod křivkou, screeningový test, optimální dělící bod.

Úvod

ROC křivka (receiver operating characteristic curve – graf prahové operační charakteristiky) byla vyvinuta americkými vědci a poprvé použita během 2. světové války pro přesnější detekci nepřátelských objektů. Je součásti teorie detekce signálů (1, 2). Dnes nachází široké uplatnění především v oblasti medicíny při lékařském rozhodování, např. v epidemiologii, radiologii, psychologii (3) apod. V posledních letech se ROC analýza stala důležitým nástrojem v oblasti strojového učení pro vyhodnocování a porovnávání kvality algoritmů neuronových sítí a metody data mining (4, 5).

V oblasti medicíny se užívá především pro hodnocení kvality a síly diskriminace diagnostických či screeningových testů, regresních a diskriminačních modelů, při zavádění nových diagnostických přístrojů, nových léků a nových způsobů léčby do medicínské praxe a také při porovnávání více diagnostických metod za účelem vybrat tu nejlepší, při porovnávání různých analytických modelů apod. Její neoddělitelnou součásti se dnes stala analýza nákladů a přínosů (Cost-Benefit Analysis).

ROC analýza – definice veličin

Tradiční ROC analýza se obvykle používá pro případ dvou tříd, protože se jednoduše definuje a interpretuje. Umožňuje vyhodnocení a grafické znázornění chování klasifikátorů při klasifikaci právě do těchto dvou tříd.

Předpokládejme, že máme skupinu vyšetřovaných osob a na základě diagnostického (screeningového) testu máme rozhodnout, kteří jedinci jsou zdraví a kteří trpí sledovaným onemocněním. Po definici vhodného prahového (dělícího) bodu, který nám právě rozdělí náš vyšetřovaný soubor na zdravé jedince a pacienty, a s ohledem na skutečnost, že všechny testy vykazují jistou nejednoznačnost, dostaneme po naměření hodnot čtyři množiny osob:

1. True positive (TP) – pacienti s nemocí, které test označil správně jako nemocné.
2. True negative (TN) – zdraví jedinci s negativní hodnotou testu.
3. False positive (FP) – zdraví jedinci s pozitivní hodnotou testu.
4. False negative (FN) – nemocní pacienti, které test nezachytil (jsou nesprávně klasifikováni jako zdraví).

Přehledné znázornění těchto množin vidíme v tabulce 1, kterou též nazýváme jako tabulku záměn (6). V oblasti medicíny, v regresní analýze se tato tabulka spíše označuje jako klasifikační, protože nám zobrazuje počet správně a nesprávně klasifikovaných případů.

Z předchozích hodnot můžeme nadefinovat základní veličiny ROC analýzy:

Senzitivitu, též také TPR (true positive rate – pravdivě pozitivní poměr), která je definována jako poměr mezi pacienty, kteří byli pomocí testu správně klasifikováni, a všemi pacienty, kteří dané onemocnění skutečně mají.

Specificitu, nebo také TNR (true negative rate – pravdivě negativní poměr), kterou definujeme jako poměr mezi zdravými jedinci, které test správně vyloučil, a všemi zdravými jedinci.

Dále definujeme FPR (false positive rate – falešně pozitivní poměr) a FNR (false negative rate – falešně negativní poměr) následujícími vztahy:

Je potřeba si všimnout, že FPR = 1 – TNR a FNR = 1 – TPR.

Dalšími důležitými veličinami ROC analýzy jsou prediktivní hodnoty diagnostického testu, a to:

PPV (positive predictive value) – pozitivní prediktivní hodnota testu, která nám určuje, jaká je pravděpodobnost, že pacient je nemocný, když je test pozitivní. Definujeme ji jako poměr pravdivě pozitivních testů ke všem pozitivním testům.

NPV (negative predictive value) – negativní prediktivní hodnota testu, která nám definuje přesnost negativní predikce. Je to poměr pravdivě negativních testů a všech negativních testů.

Senzitivita a specificita jsou charakteristiky samotného diagnostického testu, naproti tomu prediktivní hodnoty jsou velmi závislé na prevalenci onemocnění. Pomocí prevalence můžeme tyto hodnoty vyjádřit následovně:

a

kde P(D⁺) je prevalence onemocnění.

Když známe výsledek diagnostického testu, můžeme spočítat aposteriorní (potestovou) pravděpodobnost výskytu onemocnění. Tyto aposteriorní pravděpodobnosti jsou právě dány hodnotami PPV a NPV a jsou předmětem prvořadého zájmu pro kliniky. Dobrý diagnostický či screeningový test je takový, jehož výsledek zvyšuje kvalitu předpovědi o výskytu onemocnění oproti předpovědi založené pouze na prevalenci onemocnění (7).

Další veličinou, kterou v ROC analýze definujeme je přesnost screeningového testu, kterou definujeme jako podíl součtu všech jedinců správně klasifikovaných (TP + TN) a všech osob podrobených diagnostickému testu (n).

Konstrukce ROC křivky

Pokračujme dále v našem příkladu se skupinou vyšetřovaných osob a navíc předpokládejme, že náš diagnostický test při své vysoké hodnotě signalizuje větší pravděpodobnost výskytu onemocnění než při hodnotě nízké. Naměřené hodnoty si nejprve seřadíme podle velikosti (v našem případě od největší po nejmenší). U každé naměřené hodnoty si poznamenáme, zda pacient s touto hodnotou testu je zdravý nebo nemocný a dále si pro každou hodnotu spočteme senzitivitu a hodnotu FPR = 1 – specificita. ROC křivku sestrojíme právě z těchto dvou hodnot, a to na osu x vynášíme postupně hodnoty FPR (nebo 1 – specificita) a na osu y hodnoty TPR (nebo senzitivity). Příklad grafu ROC křivky spolu s optimálním, přísným a nedbalým prahem vidíme na obrázku 1. Teď již můžeme spočítat poslední důležitou veličinu ROC analýzy, a tou je plocha pod křivkou, označovaná také jako AUROC nebo jenom AUC (area under the ROC curve).

Plocha pod křivkou

Plocha pod křivkou je neparametrická veličina, netrpí zkreslením, ke kterému dochází při nevyváženém zastoupení jednotlivých tříd v populaci, neexistují problémy s tzv. „nenormalitou“ rozložení. Navíc vykazuje velmi velkou podobnost s Wilcoxonovým a Mannovým-Whitneyho U-testem.

Plocha pod křivkou nabývá libovolných hodnot od 0 (resp. 0,5) do hodnoty 1 a právě její velikost definuje diskriminační kvalitu diagnostického testu nebo regresního modelu. Čím více se blíží 1 (100 %), tím je test kvalitnější. Hodnocení kvality testu podle velikosti plochy pod křivkou definujeme podle Tapea (8) následující stupnicí:

• 0,50–0,60 … selhání (FAIL),
• 0,60–0,70 … slabá (POOR),
• 0,70–0,80 … slušná (FAIR),
• 0,80–0,90 … dobrá (GOOD),
• 0,90–1,00 … výtečná (EXCELLENT),

přičemž, pokud je velikost plochy AUC = 0,50, má náš diagnostický test asi stejnou hodnotu, jako bychom si při příchodu pacienta do ambulance hodili mincí a na základě toho rozhodli, zda je nemocen nebo zdráv.

Určení optimálního dělícího bodu

Nejdůležitějším úkolem ROC analýzy je nadefinovat optimální polohu dělícího bodu. Na obrázcích 2 až 4 postupně vidíme, že při libovolném posunutí prahové hodnoty se nám mění všechny základní charakteristiky ROC analýzy, tj. TP, TN, FP, FN a tedy i senzitivita, specificita, PPV a NPV.

Posunutí prahového bodu zleva doprava (posunutí dělicí čáry postupně na obrázcích 2, 3 a 4) odpovídá pohybu prahového bodu po ROC křivce, také zleva doprava (tento pohyb vidíme na obrázku 1). Prahový bod se pohybuje od „nejpřísnějšího“ prahu (bod [0, 0]), postupně přes oblast „přísného“, „optimálního“ a „nedbalého“ prahu až do bodu [1, 1], který nazýváme „nejvíce nedbalým“. V oblasti „přísného“ prahu jsou kritéria pro přijetí pozitivního testu nastavena velmi přísně, tj. málokterého pacienta klasifikujeme jako nemocného. Tato skutečnost minimalizuje počet falešně pozitivních, avšak za cenu ztráty citlivosti (senzitivity), tedy velká část pravdivě pozitivních – čili skutečně nemocných – nebude správně diagnostikována. Naopak v oblasti „nedbalého“ prahu jsou kritéria nastavena tak, že téměř všichni vyšetřovaní jsou zachyceni jako nemocní. Počet pravdivě pozitivních se sice blíží 100 %, důsledkem je však velký počet falešně pozitivních. Mezi těmito oblastmi leží oblast optimálního prahového bodu – oblast, která je nejblíže hornímu levému rohu a ve které jsou senzitivita i specificita maximalizovány. Kam a za jakých podmínek umístíme dělící bod, si ukážeme na příkladech v části „Analýza nákladů a přínosů“.

V mnoha vědeckých publikacích se ještě i dnes setkáváme s určením polohy dělícího bodu bez jakéhokoliv teoretického nebo vědeckého vysvětlení, bez toho, aby byly brány v úvahu riziko nebo prospěch přebytečné léčby nebo naopak nedostatečné léčby bez ohledu na prevalenci onemocnění apod. (9). Sem patří případy jako:

1. Je vybrán libovolný bod bez jakéhokoliv vysvětlení.
2. Bod na ROC křivce je vybrán tak, aby byl co nejblíže levému hornímu rohu (senzitivita i specificita se blíží 100 %).
3. Požadovaná hodnota senzitivity je stanovena předem, odpovídající specificita je určena z křivky.
4. Součet senzitivity a specificity je maximalizován.
5. Je vybrán bod, ve kterém se senzitivita rovná specificitě.

Pro skutečně odpovědný přístup pro stanovení optimálního dělícího bodu je nutné do ROC analýzy zabudovat pravidla analýzy nákladů a přínosů.

Analýza nákladů a přínosů

Podle analýzy nákladů a přínosů to, kam umístíme náš prahový bod, ovlivňují následující kritéria (10):

• finanční náklady – přímé i nepřímé na léčbu nemoci (přítomné i nepřítomné) a to i v případě, když dané onemocnění neléčíme,
• náklady na případný další výzkum,
• diskomfort pacienta,
• mortalita spojená s léčením nebo neléčením pacienta,
• prevalence onemocnění.

Optimální dělící bod zvolíme tak, abychom optimalizovali užitek diagnostické metody, s ohledem na výše uvedená kritéria (10).

Celkové náklady na léčbu si můžeme vyjádřit následující rovnicí (10):

kde C jsou režijní náklady na provedení samotného testu.

Metz (11) ve své práci ukázal, že tento bod na ROC křivce je bod, ve kterém sklon tečny splňuje následující rovnici:

kde C – čisté náklady na léčbu zdravých pacientů, B – čistý zisk z léčby nemocných pacientů a P(D⁺) – prevalence onemocnění.

Na první člen naší rovnice – na poměr C/B můžeme nahlížet negativně – pohled pouze na náklady (peněžní náklady, nežádoucí účinky léčby a kombinace obou předchozích) – potom pro tento poměr platí rovnice odvozena Metzem (11) a Weinsteinem a Finebergem (12):

nebo pozitivně – pohled na prospěch (peněžní úspory, zdravotní prospěch – zlepšení zdraví, kvality přežívání, nebo také kombinace obou předchozích) – a potom pro naše C/B platí rovnice odvozena Soxem (13):

Druhý člen naší rovnice je závislý na prevalenci onemocnění.

Abychom lépe pochopili vliv jednotlivých veličin na volbu optimálního dělícího bodu, uveďme si několik příkladů.

Prevalence

Uvažujme diagnostický test pro detekci hepatitidy B, který má senzitivitu i specificitu rovnou 0,99 a uvažujme dvě různé populace s počtem jedinců 10 000, a to populaci v Africe a v Číně, kde prevalence tohoto onemocnění podle (14) je 5–20% a druhou populaci v Evropě, kde prevalence je jenom 0,1–1%. Když si tato data vložíme do tabulky záměn, přičemž v první populaci vezmeme do úvahy hodnotu prevalence 20% a ve druhé hodnotu 0,1%, dostáváme tabulky 2 a 3.

Z těchto hodnot můžeme dopočítat pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu.

Z rovnice pro výpočet optimálního bodu vidíme, že pro první populaci (obyvatelé Číny a Afriky, vysoká prevalence onemocnění) (tab. 2) je poměr

Z toho plyne, že sklon směrnice tečny je malý a bod bude ležet v pravém horním kvadrantu grafu ROC křivky (bod A na obrázku 1). Tento bod také označovaný jako „nedbalý práh“ minimalizuje počet falešně negativních, ale také naopak přináší větší počet falešně pozitivních. Avšak jak můžeme vidět z tabulky 2, obě hodnoty PPV i NPV jsou dostatečně vysoké, takže můžeme říci, že pokud je onemocnění běžné, je pozitivní test s velkou pravděpodobností pravdivě pozitivní. Tato skutečnost nám minimalizuje počet falešně pozitivních, a tedy nám nevadí zvolená poloha optimálního bodu v pravém horním kvadrantu.

Naopak pro druhou populaci (obyvatelé Evropy, nízká prevalence onemocnění) (tab. 3) platí pro poměr.

Sklon směrnice tečny je velký a náš bod bude ležet v levém dolním kvadrantu grafu (bod B na obrázku 1). Pokud zvolíme optimální bod v této oblasti, označujeme jej jako „přísný práh“. Tento zvolený bod přináší sice méně falešně pozitivních avšak na úkor velkého počtu falešně negativních. Z vypočtených hodnot PPV a NPV vidíme, že pokud je onemocnění vzácné, je i velmi specifický test svázán s mnoha falešně pozitivními případy. Proto naše volba optimálního bodu v této oblasti, kde ve skutečnosti je málo falešně pozitivních, je volbou správnou.

Druh léčby, testu

Obecně můžeme říci, že pokud je léčba nebo vyšetřovací metoda bolestivá, nebezpečná nebo toxická a navíc šance vyléčení tohoto onemocnění je malá, je poměr C/B, a tím i sklon tečny k ROC křivce velký a námi zvolený dělící bod bude ležet v levém dolním kvadrantu v oblasti tzv. „přísného prahu“. Naproti tomu, pokud je léčba i vyšetřovací metoda bezpečná a existuje velká šance vyléčení nemoci, je poměr C/B menší než 1, sklon tečny je mírný a námi zvolený dělící bod bude v tomto případě ležet v pravém horním kvadrantu. Abychom lépe pochopili volbu dělícího bodu pro tyto dva případy, uveďme si následující příklady.

Uvažujme pacienta se zhoubným onemocněním mozku (příklad byl převzat z literatury (10)). Pokud u diagnostického testu získáme pozitivní hodnotu, čeká pacienta velmi těžká operace, přičemž víme, že tato operace pacientovi s tímto onemocněním pomůže jen velmi málo. V případě negativního testu neděláme nic. Cena FP (operace na otevřeném mozku u zdravého pacienta) je obrovská oproti ceně TN (neděláme nic), čili C_FP – C_TN >> 1. Cena FN (neděláme operaci, která vlastně stejně pacientovi moc nepomůže) je velmi podobná ceně TP (téměř beznadějná operace), čili C_FN – C_TP→ 0, a tedy:

a náš bod leží v levém dolním kvadrantu.

Naproti tomu při apendicitidě při získání pozitivního testu, provádíme operaci, která není příliš nebezpečná, čili můžeme říci, že cena TP a cena FP je přibližně stejná. Cena TN je opět nulová (neděláme nic), avšak v případě falešné negativity může dojít k sepsi a k ohrožení života, někdy až k úmrtí pacienta, čili cena FN je obrovská. Takže C_FP – C_TN→ 0 a C_FN – C_TP >> 1, a tedy:

a náš bod leží v horním pravém kvadrantu.

Porovnání dvou diagnostických testů

Velmi často potřebujeme porovnat dvě různé diagnostické metody, které provádíme na stejném výběru pacientů, s cílem vybrat pro diagnostické účely tu nejlepší. K tomu používáme Z – statistiku, kterou podle Hanleyho a McNeila definujeme následujícím vztahem (15):

A₁ a A₂ jsou dvě plochy pod křivkou, SE₁ a SE₂ jsou odpovídající standardní chyby těchto ploch a r vyjadřuje korelaci mezi těmito plochami, která vzniká v důsledku použití obou metod nad těmi samými daty. V jiném případě je r = 0. Pro standardní chybu SE podle Hanleyho a McNeila platí:

A je opět plocha pod křivkou, n_P je počet pozitivních výsledků, n_N je počet negativních (normálních) hodnot a pro Q1 a Q2 platí:

Pokud námi spočtené Z je větší než kritická hodnota, nulovou hypotézu H – „Obě metody jsou stejné“ – zamítáme a přijímáme alternativní hypotézu H_A – „Metody jsou rozdílné.“ Je potřeba zdůraznit, že statisticky nevýznamná hodnota testu neznamená implicitně rovnost mezi oběma metodami.

Závěr

Ve své práci jsme předložili krátký přehled o ROC analýze a o začlenění do ní analýzy nákladů a přínosů. Po definici základních veličin ROC analýzy, jako jsou senzitivita, specificita, PPV, NPV a plocha pod křivkou, jsme se v krátkém přehledu a na pár příkladech snažili vysvětlit použití analýzy nákladů a přínosů při volbě optimálního dělícího bodu. Vzhledem k tomu, že naše práce byla zaměřena na lékařský výzkum, základními veličinami ovlivňujícími naše rozhodování byly prevalence, závažnost onemocnění, toxicita léčby nebo diagnostického testu, nebo naopak přínos léčby pro pacienty.

Zkratky

AUC (AUROC) – plocha pod křivkou (area under the curve)

FN – falešně negativní (false negative)

FNR – falešně negativní poměr (false negative rate)

FP – falešně pozitivní (false positive)

FPR – falešně pozitivní poměr (false positive rate)

NPV – negativní prediktivní hodnota (negative predictive value)

PPV – pozitivní prediktivní hodnota (positive predictive value)

ROC – prahová operační charakteristika (receiver operating characteristic)

TN – pravdivě negativní (true negative)

TNR – pravdivě negativní poměr (true negative rate)

TP – pravdivě pozitivní (true positive)

TPR – pravdivě pozitivní poměr (true positive rate)

Tento článek vznikl za podpory výzkumného záměru MSM 0021620814 „Prevence, diagnostika a terapie diabetes mellitus, metabolických a endokrinních poškození.“

Adresa pro korespondenci:

Ing. Jana Vránová

Ústav lékařské biofyziky a lékařské informatiky 3. LF UK

Ruská 87, 100 00 Praha 10

e-mail: jana.vranova@lf3.cuni.cz